백준 14888번 파이썬

문제 링크

https://www.acmicpc.net/problem/14888

14888번: 연산자 끼워넣기

 

시간 제한 / 메모리 제한

2 초

512 MB

 

문제

N개의 수로 이루어진 수열 A1, A2, ..., AN이 주어진다. 또, 수와 수 사이에 끼워넣을 수 있는 N-1개의 연산자가 주어진다. 연산자는 덧셈(+), 뺄셈(-), 곱셈(×), 나눗셈(÷)으로만 이루어져 있다.

우리는 수와 수 사이에 연산자를 하나씩 넣어서, 수식을 하나 만들 수 있다. 이때, 주어진 수의 순서를 바꾸면 안 된다.

예를 들어, 6개의 수로 이루어진 수열이 1, 2, 3, 4, 5, 6이고, 주어진 연산자가 덧셈(+) 2개, 뺄셈(-) 1개, 곱셈(×) 1개, 나눗셈(÷) 1개인 경우에는 총 60가지의 식을 만들 수 있다. 예를 들어, 아래와 같은 식을 만들 수 있다.

• 1+2+3-4×5÷6
• 1÷2+3+4-5×6
• 1+2÷3×4-5+6
• 1÷2×3-4+5+6

식의 계산은 연산자 우선 순위를 무시하고 앞에서부터 진행해야 한다. 또, 나눗셈은 정수 나눗셈으로 몫만 취한다. 음수를 양수로 나눌 때는 C++14의 기준을 따른다. 즉, 양수로 바꾼 뒤 몫을 취하고, 그 몫을 음수로 바꾼 것과 같다. 이에 따라서, 위의 식 4개의 결과를 계산해보면 아래와 같다.

• 1+2+3-4×5÷6 = 1
• 1÷2+3+4-5×6 = 12
• 1+2÷3×4-5+6 = 5
• 1÷2×3-4+5+6 = 7

N개의 수와 N-1개의 연산자가 주어졌을 때, 만들 수 있는 식의 결과가 최대인 것과 최소인 것을 구하는 프로그램을 작성하시오.

 

입력

첫째 줄에 수의 개수 N(2 ≤ N ≤ 11)가 주어진다. 둘째 줄에는 A1, A2, ..., AN이 주어진다. (1 ≤ Ai ≤ 100) 셋째 줄에는 합이 N-1인 4개의 정수가 주어지는데, 차례대로 덧셈(+)의 개수, 뺄셈(-)의 개수, 곱셈(×)의 개수, 나눗셈(÷)의 개수이다. 

출력

첫째 줄에 만들 수 있는 식의 결과의 최댓값을, 둘째 줄에는 최솟값을 출력한다. 연산자를 어떻게 끼워넣어도 항상 -10억보다 크거나 같고, 10억보다 작거나 같은 결과가 나오는 입력만 주어진다. 또한, 앞에서부터 계산했을 때, 중간에 계산되는 식의 결과도 항상 -10억보다 크거나 같고, 10억보다 작거나 같다.

예제 입력

2
5 6
0 0 1 0

예제 출력

30
30

문제 풀이를 위해 생각한 것

1. 매 선택지 마다, 남은 연산자를 하나씩 적용하는 선택지들을 만들 수 있고, 이를 재귀적으로 구현할 수 있을 것 같다.
2. 적용한 연산자는 그 수를 1 감소시키고, 다음 선택지에 담은 연산자의 수와 현재까지 연산의 합을 인자로 전달한다.
3. 연산자가 없으면, 최종 합을 전역변수 global max/min과 비교하여, 각각 값을 채워 넣는다.

 

사용한 자료구조 / 알고리즘

배열 / DFS(재귀).

각 인덱스마다 가능한 선택지를 모두 고려하며 마지막 인덱스에 도달했을 때 최대, 최소 값을 갱신하고자 재귀적으로 DFS를 수행했다.

 

풀이 코드

import sys
sys.setrecursionlimit(10**7)

n = int(input())
seq = list(map(int, input().split()))
add, sub, mul, div = map(int, input().split())
_max = float('-Inf')
_min = float('Inf')


def dfs(_sum, _idx, _add, _sub, _mul, _div):
    global _max
    global _min

    if _idx == n:  # 끝까지 탐색했으면
        _max = max(_max, _sum)
        _min = min(_min, _sum)
        return

    if _add:
        dfs(_sum + seq[_idx], _idx + 1, _add - 1, _sub, _mul, _div)
    if _sub:
        dfs(_sum - seq[_idx], _idx + 1, _add, _sub - 1, _mul, _div)
    if _mul:
        dfs(_sum * seq[_idx], _idx + 1, _add, _sub, _mul - 1, _div)
    if _div:
        dfs(int(_sum / seq[_idx]), _idx + 1, _add, _sub, _mul, _div - 1)


dfs(seq[0], 1, add, sub, mul, div)

print(_max)
print(_min)

 

시간 복잡도 분석

O(4^N) or O(N!).

일반적으로 생각한 시간 복잡도는 위와 같다. 4가지 경우의 수를 가진 트리로 보고 완전 탐색을 한다면 O(4^N)이지만, 연산자의 수는 깊이가 깊어질수록 줄어들기 때문에 실제로는 O(4^N)보다 적은 시간 복잡도를 가질 것이다.

 

순열로 푸는 O(N!)의 경우, N!이 연산자의 갯수가 하나씩 감소하는 것을 나타내는데, 이 또한 연산자의 종류가 4개이기에, 실제로는 더 효율적인 시간 복잡도를 가질 것이다.

 

문제에서 중요한 부분

DFS의 인자로 sum값, 연산자 갯수 등의 값을 전달해서 비교적 간편하게 모든 경우의 수를 탐색할 수 있다.